Richard Morris expõe luta milenar para enfrentar e desvendar o infinito
Aquiles no universo quântico
NEWTON DA COSTA
O termo "infinito" (e, portanto, também "finito") possui várias significações em ciência. Em matemática, há o infinito atual ou cantoriano (conjuntos infinitos, números cardinais infinitos etc.) e o infinito como limite de uma quantidade que aumenta sem cessar, por exemplo, em valor absoluto (assim, quando x tende a zero, 1/x tende a infinito). Pode-se ainda falar de ponto no infinito de uma reta, de domínio infinito de uma função, de números infinitamente pequenos (infinitésimos) e de infinitos equivalentes.
Costuma-se, em física, fazer referência a quantidades infinitas, quando, digamos, se trabalha em eletrodinâmica quântica e em renormalização, a massas pontuais com cargas infinitas, a espaços infinitos e a lapsos de tempo infinitos. A seguinte passagem do texto é ilustrativa:
"A idéia de que o elétron é uma partícula pontual foi confirmada até certo ponto por experimentos. Se digo "até certo ponto" é porque somente um experimento de precisão infinita poderia confirmar que as dimensões do elétron são exatamente iguais a zero".
"No entanto, se é um ponto adimensional, um elétron deve ter uma massa infinita. Para entender por que isso é assim, considere o caso de duas cargas pontuais. Se forem semelhantes -ambas positivas ou ambas negativas-, vão se repelir uma a outra. A força de repulsão segue uma lei do inverso do quadrado. Assim, se quisermos forçá-las a ficar mais próximas, um gasto de energia será requerido. Quanto mais perto ficarem uma da outra, mais forte a força de repulsão se tornará. Se forem aproximadas uma da outra a ponto de haver entre elas uma distância zero, a força de repulsão se tornaria infinita. Para efetuar isso, seria necessário um gasto infinito de energia. Algo análogo acontece no caso do elétron." "Mas, como Einstein mostrou, massa e energia são equivalentes. Portanto, o elétron tem de ter uma massa infinita. Ninguém acredita, é claro, que isso seja literalmente verdade. Mas acontece que é verdadeiro na melhor teoria que temos no momento. E, até que uma teoria melhor apareça, considerar o elétron dessa maneira continuará sendo inevitável."
É patente que em todas essas acepções a palavra "infinito" (e cognatas) não tem significados idênticos ou intimamente relacionados, pelo menos no estado atual de evolução da ciência.
O autor fornece um apanhado elementar de vários sentidos de infinito, sem, no entanto, distinguir as profundas diferenças existentes entre eles. Às vezes, passa a impressão de que se trata sempre do mesmo conceito de fundo ou de transformações de uma noção básica. Isso constitui, de fato, um erro conceitual.
Não obstante, pode-se argumentar que, dada a finalidade de divulgação, escrutínios precisos carecem de importância. Achamos, porém, que teria sido melhor se o autor fosse mais cauteloso e separasse claramente os diversos significados em jogo, mesmo não considerando alguns deles. Assim, a idéia de infinitamente pequeno da análise não-standard está inteiramente fora dos objetivos centrais deste livro (que se referem, sobretudo, à física). Por outro lado, convém observar, há pelo menos dois tipos de infinitesimais: os inversíveis, como os da referida análise, e os idempotentes, aos quais não há nenhuma referência, embora estejam implícitos em diversas partes do trabalho.
Os primeiros quatro capítulos do livro são de índole geral (a natureza paradoxal da infinidade, tempo infinito, mundos infinitos e o infinitamente pequeno) e merecem leitura atenta. Os seis capítulos seguintes dizem respeito à física e constituem excelente introdução aos tópicos correspondentes (catástrofe atômica, elétron, teoria da relatividade, cosmologia etc.). Dificilmente se encontrará uma exposição mais compreensível, elementar e apropriada de noções como renormalização, tempo imaginário e singularidade. Ademais, o tratamento é, em geral, crítico e interessante. Sobre a renormalização (um modo de eliminar as importunas infinidades para que só resultados finitos sejam obtidos), salienta que Dirac chegou a afirmar que se tratava apenas de um artifício para evitar determinadas dificuldades de cálculo: "Isso simplesmente não é matemática sensata. Em matemática sensata, despreza-se uma quantidade quando ela é pequena, não porque é infinitamente grande e você não a deseja!".
O próprio Feynman que, com Schwinger e Tomonaga, foi um dos criadores do método, sustentou que a renormalização é um "processo maluco" e "ter que lançar mão dessa prestidigitação nos impediu de provar que a teoria da eletrodinâmica quântica é matematicamente coerente". Em síntese, Feynman desconfiava que a renormalização fosse um método legítimo. Aliás, um dos grandes problemas ligados à física contemporânea consiste na questão da natureza e da justificação desse método, tanto matemática quanto filosófica. Não parece razoável que uma das mais importantes teorias da física assente em hipóteses tão destituídas de fundamento. (Tal maneira de proceder foi estendida a outras teorias centrais da física, como a da unificação da eletrodinâmica quântica com a teoria das forças nucleares fracas; curiosamente, a renormalização não funciona com a gravitação.)
No último capítulo, cujo título remete à imagem da curva lemniscata, o símbolo matemático especialmente do infinito potencial, deparamo-nos com algumas observações de caráter "filosófico". Todavia, as ponderações sobre a lâmpada que é ligada e desligada infinitas vezes (pág. 212) carecem de sentido.
O título da obra em português é um tanto enganador, pois ela não encerra uma breve história do infinito propriamente dita. A tradução e a apresentação são boas e, não obstante os reparos acima, recomendamos a leitura deste livro a todos que desejarem formar uma idéia esquemática de determinados aspectos relevantes da física atual (e de alguns temas de cunho matemático).
Uma Breve História do Infinito
Richard Morris Tradução: Maria Luiza Borges Apresentação: Henrique Lins de Barros Jorge Zahar (Tel. 021/240-0226) 232 págs., R$ 23,00
Newton da Costa é professor do departamento de filosofia da USP e autor, entre outros livros, de "Introdução aos Fundamentos da Matemática" (Hucitec-Edusp) e "O Conhecimento Científico" (Discurso Editorial).